기록하고 기록하면 어떻게 될까

우리는 자연수 집합의 최댓값은 실수 범위에서 존재하지 않는다는 것을 직관적으로 알고 있다 . 그 말은 곧 자연수 집합은 위로 유계가 아니라는 뜻이다. 그렇다면 이를 수학적으로 설명할 수 있을까? 아르키메데스 성질은 이에 대한 설명을 해준다. 이 때 우리는 앞에서 배운 실수의 완비성 공리를 이용하여 증명하게 된다. 아르키메데스 성질 The Archimedean Property 위 정리를 살펴보면 임의의 실수 $x \in \mathbb{R} $에 대해서 $x \le n_x$를 만족하는 $n_x \in \mathbb{N} $가 항상 존재한다는 의미다. 이는 어떤 임의의 실수도 모든 자연수보다 큰 수는 없다는 뜻이고 바꿔말하면 자연수 집합은 위로 유계가 아니라는 뜻이다. 위에서 설명한 내용을 수학적으로 표현한 ..

실수 $R$는 크게 3가지의 공리를 만족하는 수의 집합이라고 할 수 있다. 첫번 째는 체의 공리로 덧셈,곱셈에 대해 교환법칙,결합법칙이 성립하고 각각 항등원과 역원을 가지며 두 연산 사이에 분배법칙이 성립한다는 내용이다. 체의 공리에 대한 더 자세한 내용은 아래의 글을 참고하면 될 것 같다. https://jintionary.tistory.com/23 실수 $R$의 성질과 그에 따른 정리들 우리가 흔히 알고 있는 실수 $R$은 대수학적인 관점에서 체 Field 라는 구조를 가진다. (체 Field 라는 개념은 현대대수학에서 배우게 되는데 추후 군 Group, 환 Ring 관련 포스팅과 함께 같이 정리하겠 jintionary.tistory.com 두 번째로는 순서 공리로 대소 관계에 대한 내용을 다룬다. ..

지난번 글을 통해 유계와 관련된 용어들을 다뤘다. 이번 글은 그 때 다룬 상계 upper bound와 하계 lower bound 개념의 연장선상에 있는 상한 supremum 과 하한 infimum 에 대해 다뤄보겠다. 사실 상계 upper bound 와 하계 lower bound 의 정의를 잘 이해한다면 상한과 하한은 그냥 따라 오는 개념이라 생각할 수 있다. 상한 supremum 그리고 하한 infimum 의 정의 공집합이 아닌 실수 집합 $\mathbb{R}$ 의 부분집합 $S$를 생각하자. 상한 Supremum 집합 $S$가 위로 유계이면, 집합 $S$의 상한 $u$는 다음 두 조건들을 만족하며 $Sup \; S$ 로 표기한다. If $S$ is bounded above, then a number ..

해석학을 공부할 때 가장 기본이 되는 개념이 bound이다. bound는 경계라는 뜻을 가진 단어인데 수학에서도 그 의미와 유사하게 사용된다. 개략적으로 말하면 어느 집합의 원소들 값의 범위, 경계를 알려주는 개념이다. 그러면 이제부터 수학적 정의를 바탕으로 bound와 관련된 용어들을 살펴보자. 상계 upper bound 공집합이 아니고 실수 집합 $ \mathbb{R} $ 의 부분집합인 집합 S를 생각하자. 실수 $u$가 모든 $s$ $\in$ $S$에 대해 $s ≤ u$을 만족시키면 $u$를 $S$의 상계 $upper$ $bound$라 하고 집합 $S$는 위로 유계(위로 갇혀있다 $be$ $bounded$ $above$)이다. 또는 $S$는 위로 유계인 집합이라 한다. The set $S$ is s..