[해석학] 유계 bounded, 상계 upper bound, 하계 lower bound 에 대해서

 
해석학을 공부할 때 가장 기본이 되는 개념이 bound이다. bound는 경계라는 뜻을 가진 단어인데 수학에서도 그 의미와 유사하게 사용된다. 개략적으로 말하면 어느 집합의 원소들 값의 범위, 경계를 알려주는 개념이다. 

 

그러면 이제부터 수학적 정의를 바탕으로 bound와 관련된 용어들을 살펴보자. 

 

 

 

상계  upper bound 

 

공집합이 아니고 실수 집합 $ \mathbb{R} $ 의 부분집합인 집합 S를 생각하자. 

 

실수 $u$가 모든 $s$ $\in$ $S$에 대해 $s ≤ u$을 만족시키면 $u$를 $S$의 상계 $upper$ $bound$라 하고 집합 $S$는 위로 유계(위로 갇혀있다 $be$ $bounded$ $above$)이다. 또는 $S$는 위로 유계인 집합이라 한다.

 

The set $S$ is said to be bounded above if there exists a number $u$ $\in$ $ \mathbb{R} $   $s.t.$   $s≤u$   for     $\forall$$s$ $\in$ $S$. Each such number $u$ is called an $upper$ $bound$ of $S$.

 

 

 

간단하게 그림으로 표현하면 아래와 같다. 집합 S의 상계 집합 모든 원소들은 S에 속하는 어떤 원소들보다 크거나 같으므로(작지 않으므로) 수직선 상에서 아래와 같음은 쉽게 파악할 수 있다. 

상계 upper bound

 

 

 

 

 

 

 

 

하계  lower bound 

 

공집합이 아니고 실수 집합 $ \mathbb{R} $ 의 부분집합인 집합 S를 생각하자.

 

 

실수 $w$가 모든 $s$ $\in$ $S$에 대해 $w ≤ s$를 만족시키면 $w$를 $S$의 하계 $lower$ $bound$라 하고 집합 $S$는 아래로 유계(아래로 갇혀있다 $be$ $bounded$ $below$)이다. 또는 $S$는 아래로 유계인 집합이다.

The set $S$ is said to be bounded below if there exists a number $w$ $\in$ $ \mathbb{R} $   $s.t.$   $w≤s$   for   $\forall$ $s$ $\in$ $S$.  Each such number $w$ is called an $lower$ $bound$ of $S$.

 

 

 

간단하게 그림으로 표현하면 아래와 같다. 집합 S의 하계 집합 모든 원소들은 S에 속하는 어떤 원소들보다 작거나 같으므로(크지 않으므로) 수직선 상에서 아래와 같음은 쉽게 파악할 수 있다. 

 

하계 lower bound

 

 

 

 

 

 

 

 

 

유계  bounded 

 

공집합이 아니고 실수 집합 $ \mathbb{R} $ 의 부분집합인 집합 S를 생각하자.

 

 

$S$가 위로 유계이고 아래로 유계이면 집합 $S$는 유계(갇혀있다 $be$ $bounded$) 혹은 $S$는 유계인 집합($bounded$ $set$)이라 한다. 그러므로 두 실수 $m$과 $M$이 있어서 $S$가 $[m,M]$의 부분집합이면 $S$는 유계이다.

A set is said to be bounded if it is both bounded above and below.  A set is said to be unbounded if it is not bounded

 

 

 

간단하게 그림으로 표현하면 아래와 같다. 집합 S는 위로 유계이며(상계가 존재) 동시에 아래로 유계이므로(하계가 존재) S는 갇혀있고 유계이다. 

S가 위로 유계이며 아래로 유계이므로 S는 유계인 집합이다.

 

 

 

 

마무리 

 

이번 글에서는 수학에서 다루는 bound와 관련된 용어들을 다뤄봤다. 아주 기초가 되는 개념이고 이후에 나오는 개념 및 용어들의 토대가 되므로 잘 이해해두면 좋을 것 같다. 

 

 

 

 

 

 

 

References

Introduction to real analysis 4th edition / Robert G. Bartle