[해석학] 상한 supremum, 하한 infimum 에 대해 알아보자

지난번 글을 통해 유계와 관련된 용어들을 다뤘다. 이번 글은 그 때 다룬 상계 upper bound와 하계 lower bound 개념의 연장선상에 있는 상한 supremum 과 하한 infimum 에 대해 다뤄보겠다. 
 
 
사실 상계 upper bound 와 하계 lower bound 의 정의를 잘 이해한다면 상한과 하한은 그냥 따라 오는 개념이라 생각할 수 있다. 

상한 supremum 그리고  하한 infimum 의 정의 

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공집합이 아닌 실수 집합 $\mathbb{R}$ 의 부분집합 $S$를 생각하자. 
 
 

• 상한 Supremum 

집합 $S$가 위로 유계이면, 집합 $S$의 상한 $u$는 다음 두 조건들을 만족하며 $Sup \; S$ 로 표기한다. 
 
If $S$ is bounded above, then a number $u$ is said to be a supremum(=least upper bound) of $S$ if it satisfies the conditions. $\Leftrightarrow$ $Sup$ $S$
 
    1. $u$는 집합 $S$의 상계 upper bound 이다.   $u$ is an upper bound of $S$
 
    2. 만약 $v$가 집합 $S$의 또 다른 상계라면 $u \le v$ 이다.   If $v$ is any upper bound of $S$, then $u≤v$  
 
    (2') For every $\epsilon > 0$, there exists $s \in S \; s.t . \; u - \epsilon < s \le u $  
 
 
 

• 하한 Infimum

집합 $S$가 아래로 유계이면, 집합 $S$의 하한 $w$는 다음 두 조건들을 만족하며 $Inf \; S$ 로 표기한다.
 
If $S$ is bounded below, then a number $w$ is said to be an infimum(=greatest lower bound) of $S$ if it satisfies the conditions. $\Leftrightarrow$ $Inf$ $S$
 

1. $w$는 집합 $S$의 하계 lower bound 이다.   $w$ is a lower bound of $S$

    2. 만약 $t$가 집합 $S$의 또 다른 하계라면 $t \le w$이다.   If $t$ is any lower bound of $S$, then $t ≤ w$  
 
   (2') For every $\epsilon > 0$, there exists $s \in S \; s.t . \; w \le s < w + \epsilon $ 
 

sup과 inf에 대한 그림

 
 
 
그러면 이제는 우리가 잘 안다고 생각하는 개념인 최댓값과 최솟값에 대해 살펴보고 상한,하한과 비교를 해보자 .
 
 
 
우선 최댓값, 최솟값부터 살펴보자
 

최댓값 Maximum과 최솟값 Minimum의 정의 

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공집합이 아닌 실수 집합 $\mathbb{R}$ 의 부분집합 $S$를 생각하자.
 

 
최댓값  Maximum
 
$a_0$가 집합 $S$의 원소라고 하자. 이 때 $\forall$$a$ $\in$ $S$ , $a$$_0$ $≥ a$ 이면 $a_0$를 집합 $S$의 최댓값 이라 한다. 
 
 Let $a$$_0$ $\in $ $\mathbb{R} $ is an element of set $S$. If $\forall$$a$ $\in$ $S$ , $a$$_0$ $≥ a$, then $a$$_0$ is called $maximum$ of set $S$
 
 
 
최솟값  Minimum

 
$a_1$가 집합 $S$의 원소라고 하자. 이 때 $\forall$$a$ $\in$ $S$ , $a$$_1$ $\le a$ 이면 $a_1$를 집합 $S$의 최솟값 이라 한다. 
 
Let $a$$_1$ $\in$ $\mathbb{R} $ is an element of set $S$. If $\forall$$a$ $\in$ $S$ , $a$$_1$ $≤ a$, then $a$$_1$ is called $minimum$ of set $S$
 
 
 
 

그렇다면 상한,하한과 최대,최솟값의 차이점은 무엇인가? 

 
이는 해당 값이 집합에 속하는지 유무에 있다.
 
최댓값과 최솟값의 정의를 보면 그 값이 우선 해당 집합 $S$ 의 원소여야 한다. 하지만 상한과 하한은 해당 집합 $S$ 의 원소여야 한다는 조건이 없다. 따라서 이 용어들은 비슷하지만 차이점을 가진다.