[선형대수학] 벡터 공간 (Vector Space) 이란 무엇인가?

 

선형대수학을 공부하다보면 생소한 개념들을 많이 만나게 되는데 벡터 공간이 그 시작이 아닐까 생각한다. 처음 공부할 때는 너무나도 추상적이고 그래서 이게 왜 중요한 건지 모르겠는데(물론 아직도 잘 모르긴 한다) 현대대수학을 공부하며 군,환,체를 배우고 선형대수를 다시 보다보니 벡터 공간이 중요한 개념이라는 것이 조금씩 와닫는다. 

 

 

그러면 지금부터 벡터공간 Vector Space에 대해 차근차근 살펴보자. 

 

 

 

$Vector$ $Space$ 란? 

체 $field$ $F$에서의 $vector \; space$ or $linear$ $space$ $V$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.

 

• 합 $sum$은 두 원소 $x,y$에 대해 유일한 원소 $x + y$ $\in$ $V$를 대응하는 연산이다.이 때 $x+y$는 $x$와 $y$의 합이라고 한다.
• 스칼라 곱 $scalar \; multiplication$ 은 체 $F$의 원소 $a$와 $vector \;space$ $V$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax$ $\in$ $V$를 대응하는 연산이다. 이 때 $ax$는 $a$와 $x$의 스칼라 곱이라 한다.

 

 

즉 벡터 공간은 특정한 성질들을 만족하는 집합이라고 생각할 수 있다. 그 특정한 성질들은 아래의 8가지 조건들이다. 

 

벡터 공간 V 는 아래의 8가지 조건을 모두 만족하는 집합이다. 

 

 

$VS1)$ 모든 $x, y$ $\in$ $V$에 대하여 $x + y = y + x$이다. (덧셈의 교환법칙)

$VS2)$ 모든 $x,y,z$ $\in$ V에 대하여 $(x+y) + z = x + (y+z)$이다. (덧셈의 결합법칙)

$VS3)$ 모든 $x$ $\in$ $V$에 대하여 $x + 0 = x$인 $0$ $\in$ $V$가 존재한다. (덧셈에 대한 항등원의 존재)

$VS4)$ 각 $x$ $\in$ $V$ 마다 $x + y = 0$인 $y$ $\in$ V가 존재한다. (덧셈에 대한 역원의 존재)

 

$VS5)$ 각 $x$ $\in$ $V$ 에 대하여 $1x = x$이다.

$VS6)$ 모든 $a,b$ $\in$ $F$와 모든 $x$ $\in$ $V$에 대하여 $(ab)x = a(bx)$이다.

$VS7)$ 모든 $a$ $\in$ $F$와 모든 $x,y$ $\in$ $V$에 대하여 $a(x+y) = ax + ay$이다.

$VS8)$ 모든 $a,b$ $\in$ $F$와 모든 $x$ $\in$ $V$에 대하여 $(a+b)x = ax + bx$이다.

 

조건들을 보면 4개의 덧셈에 대한 성질들이 있고, 스칼라 곱에 대한 나머지 4가지의 성질들이 있음을 볼 수 있다. 

 

$Field$ $F$의 원소는 $스칼라(scalar)$, $vector \; space \; V$의 원소는 $벡터(vector)$라 한다. 여기서 벡터는 벡터공간의 원소를 가리키는 일반적인 개념이다.

 

여기서 볼 수 있는 또 다른 특징은 모든 벡터공간은 영벡터 O를 포함한다는 것이다. ( VS3 참고) 

 

 

벡터 공간의 예시 

 

가장 우리가 흔하게 생각할 수 있는 벡터 공간은 $R^3$ 3차원 실수 공간이다.

 

3차원 실수 공간은 벡터공간이다.

 

 

실수의 대수적 성질은 위의 벡터 공간 성립 조건들을 모두 만족한다. 자세한 설명은 실수의 대수적 성질을 다룬 이 글을 참고하면 될 것 같다.

 

https://jintionary.tistory.com/23

실수 $R$의 성질과 그에 따른 정리들

 

따라서   결론적으로 $R^3$ 은 벡터공간이다. 

 

 

 

 

 

두번 째로 성분이 체 $F$의 원소인 모든 $m \times n$ 행렬의 집합은 $M_{m \times n}(F)$라 표기한다. $A,B \in M_{m \times n}(F), c \in F$ 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 $M_{m \times n}(F)$는 벡터공간이다. 

 

$(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$ ,   $(cA)_{ij} = cA_{ij}  (단, 1\le i \le m,  1 \le j \le n)$

 

 

 

 

 

 

 

그리고 마지막으로 영 벡터만을 가지는 집합 $S=\{0\}$ 역시 벡터 공간이다. 이 때 두개의 연산을 $0 + 0 =0, c0 = 0 (c \in F)$라 정의하면 이 집합 $S$는 벡터 공간이고 우리는 이 집합 $S$를 체 $F$ 위의 점 공간이라 한다. 

 

 

 

 

마무리 

 

벡터 공간에 대해서 알아보았다. 다음에는 벡터 공간에서 파생되는 용어 및 개념들에 대해서 정리해보겠다.