[선형대수학] 부분 공간 Subspace 에 대하여

저번 글에서는 벡터 공간에 대해서 다뤘다. 

 

그러면 벡터 공간이라는 집합에 대해서 벡터 공간의 부분 집합 역시 벡터 공간이 되는 것이 있지 않을까 생각할 수 있다. 이는 선형대수학에서 부분공간 Subspace 이라는 용어를 통해 설명된다. 

 

 

부분공간 Subspace란? 

$V$를 벡터공간, $W$를 $V$ 의 부분집합이라 할 때 다음 3 조건을 만족하면 $W$를 $V$ 의 부분공간 Subspace 이다.  그리고 이를 $W \le V$로 나타낸다. 

 

1. $ 0 \in W$

 

2. $ \forall x, y \in W,  x + y \in W$

 

3.  $\forall c \in F, \forall x \in W,  cx \in W$ ($c$는 스칼라)

 

 

이 때 의문점이 드는게 있을 것이다. 저번 글에서 봤다시피 벡터공간을 만족하려면 8가지 성질을 만족해야하는데 왜 3가지 성질만 확인하는지. 

 

그런데 잘 생각해보면 나머지 성질들은 확인할 필요가 없음을 알 수 있다. $W$는 이미 벡터공간 $V$의 부분집합임이 가정에 나와있다. 즉 $W$의 원소 $w$는 벡터공간 $V$의 성질을 이미 만족한다. 

 

그래서 위 3가지 조건만 만족하면 부분공간이 되는 것이다. 

 

그러면 이에 대한 정리를 증명해보자. 

 

 

proof) 

 

$(\Rightarrow)$ $W$가 $V$의 $subspace$라고 하자.

 

그러면 $subspace$의 성질로부터 2번 , 3번 조건은 자명하게 성립한다. 그러면 마지막으로 확인해야할 것은 $subspace \; W$의 $zero \;vector$가 $V$의 것과 일치하는 가이다. $W$의 $zero \; vector$를 $0'$이라 두면 $x \in W$에 대해 $x+0'=x$이다. 또한 $x \in V$이므로 $x+0=x$이다. 그러면 $x+0' = x +0$이므로 $0'=0$이 되어 영벡터는 서로 일치하게 된다.

 

 

$(\Leftarrow)$ $Subset \; W$가 위의 3 조건을 만족한다고 하자.

 

그러면 확인해야할 것은 $x \in W$에 대해 $y = x^{-1} \in W$인 $x+y=0$이 되는 $y$가 존재하는 가이다. 그런데 3번 조건으로부터

$-1 x \in W$이므로 모든 $x \in W$에 대해 $ y =-x$ $\in W$가 존재하므로 $W$는 $V$의 $subspace$가 된다.

 

 

 

 

정리하면 부분공간은 어떤 벡터 공간의 부분집합이면서 자기 자신도 벡터 공간임을 의미한다. 

 

그러면 가장 우선적으로 알 수 있는 것은 뭘까? 우선 어떤 영집합이 아닌 벡터공간 $V$가 존재하면 그 벡터공간은 항상 적어도 2개의 부분 공간 subspace를 갖는다. 

 

1. 영집합 $ \{0\} $

 

앞선 글에서 영집합은 벡터공간이라고 하였다. 또한 모든 벡터공간은 원소로 0을 갖기에 이 집합은 벡터공간 $V$ 의 부분집합이다. 따라서 영집합 $ \{0\} $ 은 벡터공간 $V$의 부분공간이다. 

 

 

2. 자기자신 $V$

 

이는 자명하다. 자기자신은 자신의 부분집합이면서 주어진 조건에 의해 벡터공간이기 때문이다. 따라서 자기자신은 벡터공간 $V$의 부분공간이다. 

 

 

 

 

마무리 

 

벡터공간에서 파생되는 용어인 부분공간에 대해 정리해보았다. 다음 글에서는 하나의 벡터 공간에서 나올 수 있는 다양한 부분공간들에 대해 다뤄보겠다.