실수 $R$의 성질과 그에 따른 정리들

우리가 흔히 알고 있는 실수 $R$은 대수학적인 관점에서 체 Field 라는 구조를 가진다. (체 Field 라는 개념은 현대대수학에서 배우게 되는데 추후 군 Group, 환 Ring 관련 포스팅과 함께 같이 정리하겠다. ) 

 

 그러면 우선 실수 $R$의 성질들에 대해서 먼저 정리를 해보자.

 

실수 $R$은 두 가지 연산에 대해 정의된다. 첫 번째는 덧셈 $+$ 연산자이고 두 번째는 곱셈 $\cdot$ 연산자이다.  

두 연산자 모두 이항 연산자 binary operation 이다.(두 개의 항으로 연산한다)

 

실수 $R$은 두 가지 연산에 대해 정의되었다.

실수 $R$은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있다. 이 말은 임의의 두 실수 x,y에 대해 두 수를 더한 값 역시 실수이며 두 수를 곱한 값 또한 역시 실수라는 뜻이다. 

 

 

 

 

그러면 실수 $R$은 다음 9가지 성질을 만족한다. 

 

실수 $R$이 만족하는 9가지 성질

 

이 내용을 간단히 설명하자면 실수에서 덧셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다. 또한 모든 실수에 대해 덧셈을 했을 때 자기 자신이 나오는 원소 $e$가 존재하며 이 $e$를 덧셈에 대한 항등원이라 부른다. 이 때 항등원 $e$는 우리가 잘 알 듯 0으로 표현한다. 임의의 실수 $x$에 대해서 $x$ $+$ $y_x$ = $0$을 만족하는 $y_x$가 존재한다. 이 $y_x$를 $x$의 덧셈에 대한 역원이라 부른다. 

 

 

곱셈에 대한 내용도 거의 유사하다. 실수에서 곱셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다. 또한 모든 실수에 대해 곱셈을 했을 때 자기 자신이 나오는 원소 $f$가 존재하며 이 $f$를 곱셈에 대한 항등원이라 부른다. 이 때 항등원 $f$는 우리가 잘 알 듯 1로 표현한다. 임의의 실수 $x$에 대해서 $x$ $\cdot$ $\zeta_x$ = $1$을 만족하는 $\zeta_x$가 존재한다. 이 $\zeta_x$를 $x$의 곱셈에 대한 역원이라 부른다. 

 

 

마지막으로 임의의 실수에 대해 분배법칙이 성립한다. 

 

 

추가적으로 알 수 있는 내용들 

 

그러면 추가적으로 알 수 있는 사실들에 대해 정리해보자. 위에서 설명한 9가지 실수의 성질들을 사용하여 증명하였다. 

 

1. 덧셈에 대해서 덧셈에 대한 항등원 $e$는 유일하다. 

덧셈에 대한 항등원 e는 유일하다.

수학에서 어떤 값의 유일성을 증명할 때는 같은 역할을 하는 어떤 다른 값(여기서는 $e'$)이 존재한다고 가정을 해서 두 값이 같음을 유도해내는 방식으로 증명한다. 

 

 

2. 임의의 실수 $x$에 대해 $x$의 덧셈에 대한 역원 $y_x$는 유일하다. 

덧셈에 대한 역원은 유일하다.

역시 마찬가지로 어떤 다른 값 $z_x$가 존재한다고 가정을 하고 $y_x$가 $z_x$와 같음을 유도해내는 방식으로 증명한다. 

 

3. 곱셈에 대해서 곱셈에 대한 항등원 $f$는 유일하다. 

곱셈에 대한 항등원은 유일함을 증명

위에서 사용한 방식과 동일하다. 연산자만 덧셈에서 곱셈으로 바뀌었을 뿐이다.

 

4. 곱셈에 대해서 곱셈에 대한 역원 $\zeta_x$는 유일하다. 

곱셈에 대한 역원은 유일함을 증명

마찬가지로 위의 덧셈에 대한 역원 유일성 증명 방식과 연산자만 곱셈으로 바뀌었을 뿐 나머지는 전부 동일하다. 

 

 

 

정의 Definition 

 

실수에서 다루는 뺄셈과 나눗셈은 사실 덧셈과 곱셈으로부터 정의되었다. 뺄셈과 나눗셈의 정의는 아래와 같다. 

 

뺄셈에 대한 정의

나눗셈에 대한 정의

 

 

 

 

마무리 

실수 $R$의 성질들에 대해서 다뤄보았다. 다음 글에서는 실수의 순서적 공리와 그에 따른 정리들에 대해 다뤄보겠다.