유클리드 기하학 원론의 내용들을 다루는 포스팅 시작

 

우리가 공부하는 평면 기하, 공간 기하의 뿌리이자 근간은 유클리드 기하학이다. 

 

유클리드는 <기하학 원론> 이라는 책들로 다양한 기하학적 정의와 명제들을 다룬다. 이 때 그는 5가지의 공리와 5가지의 공준으로부터 시작하여 우리가 오늘날 기하에서 당연하다 여기는 수많은 명제들을 증명한다. 공리와 공준은 거의 같은 의미로 사용되지만 공리가 공준보다 좀 더 여러 학문에서 일반적이고 당연하게 받아들여진다. 

 

 

 

그러면 유클리드 기하학 원론 내용들을 다루기에 앞서 모든 논리의 토대이자 뿌리가 되는 5가지의 공리와 공준들을 살펴보겠다. 

 

 

 

유클리드 기하의 5가지 공리

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공리 1. 어떤 것 둘(A와 B) 이 어떤 것(C)과 서로 같다면(A=C 이고 B=C), 그 둘도 서로 같다.( A=B)

 

 

공리 2. 서로 같은 것들에 (A=B) 같은 것을 (C) 를 서로 더하면, 그 결과도 서로 같다. ( A+C = B+C)

 

 

공리 3. 서로 같은 것들에 (A=B) 같은 것을 (C) 를 서로 빼면, 그 결과도 서로 같다. ( A-C = B-C) 

 

 

 

공리 4. 서로 같은 것들은 서로 같다. 

 

 

공리 5. 전체는 부분보다 크다. 

 

 

 

 

 

 

유클리드 기하의 5가지 공준 

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공준 1. 임의의 서로 다른 두 점을 잇는 선분을 유일하게 그을 수 있다. 

 

 

공준 2. 유한한 직선이 있으면, 그것을 얼마든지 길게 늘일 수 있다. 

 

 

공준 3. 모든 점에서 모든 거리를 반지름으로 하여 원을 그릴 수 있다. 

 

 

공준 4. 모든 직각은 서로 같다. 

 

 

공준 5. 두 개의 직선이 다른 한 직선과 만나는데, 어느 한 쪽의 두 내각을 더한 것이 두 개의 직각보다 작다고 하면 그러면 두 직선을 길게 늘였을 때, 두 직선은 내각을 더한 것이 두 개의 직각보다 작은 쪽에서 만난다. 

 

이해를 위한 그림 첨부 (출처: 위키피디아)

 

여기서 공준 5는 그 유명한 평행선 공준으로 수학자들 사이에 많은 논란을 가져다 주었다. 재밌는 것은 이 평행선 공준을 부정해도 모순이 발생하지 않으며 이를  남은 4개의 공준과 결합하여 새로운 기하학인 비유클리드 기하학을 만들어 냈다. 

 

 

 

 

 

이제 앞으로의 글들에서는 유클리드 기하학 원론에서 나오는 명제들을 증명하는 내용을 다룰 것인데 다만 이 모든 것들을 다루기에는 양이 너무 많고 하다보니 개인적으로 선정한 명제들을 다룰 예정이다. 우선 유클리드 원론 1권이 삼각형을 다루기에 삼각형에 관련된 명제들부터 다룰 생각인데 이 명제들을 증명하기 앞서 근간이 되는 명제이지만 이후에 따로 다루지 않을 명제들을 여기서 간단히 증명을 생략하고 언급만 하고 넘어가겠다. 

 

 

삼각형의 합동 법칙 3가지가 명제로서 나오는데 우리가 알다시피 그 것은 다음과 같다. 

 

두 삼각형에 대해서 

 

• 두 변의 길이가 각각 같고, 그 두변이 만드는 각의 크기가 같다. (SAS 합동) 

 

• 두 변의 길이가 각각 같고, 나머지 한 변의 길이 역시 서로 같다. (SSS 합동)

 

• 두 각의 크기가 각각 같고, 두 각을 포함하는 한 변의 길이 역시 서로 같다. (ASA 합동) 

 

앞으로 다룰 명제들에서 위 3개의 명제는 증명을 생략하고 사용하도록 하겠다.