[해석학] 아르키메데스 성질 Archimedean Property

 

우리는 자연수 집합의 최댓값은 실수 범위에서 존재하지 않는다는 것을 직관적으로 알고 있다 . 그 말은 곧 자연수 집합은 위로 유계가 아니라는 뜻이다. 
 
그렇다면 이를 수학적으로 설명할 수 있을까? 아르키메데스 성질은 이에 대한 설명을 해준다. 이 때 우리는 앞에서 배운 실수의 완비성 공리를 이용하여 증명하게 된다. 

 

아르키메데스 성질  The Archimedean Property 

 

Archimedean Property

 

위 정리를 살펴보면 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해서 $x \le n_x$를 만족하는 $n_x \in \mathbb{N}$가 항상 존재한다는 의미다. 
 

이는 어떤 임의의 실수도 모든 자연수보다 큰 수는 없다는 뜻이고 바꿔말하면 자연수 집합은 위로 유계가 아니라는 뜻이다. 

위에서 설명한 내용을 수학적으로 표현한 것 뿐이다.
 
 
 그러면 이 정리의 증명을 살펴보자. 아이패드로 적은 내용을 호흡마다 잘라서 설명하겠다. 

 

증명 Proof) 

 우선 실수 $x$를 0보다 크다고 가정해도 무리가 없다. ($x \le 0$ 일 경우엔 $n_x = 1$이 만족한다. )
 

 

증명의 핵심 아이디어는 귀류법이다. 위 정리의 결론을 부정하여 모순을 만들겠다. 

 

위 정리의 결론을 부정하여 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $x_0 \ge n$을 만족하는 $x_0 > 0$가 존재한다고 하자.  그러면 upper bound의 정의에 따라 $x_0$는 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 상계 upper bound가 된다. 또한 자연수 집합은 공집합이 아니다. 

 

자연수 집합이 상계가 존재하고 공집합이 아니므로 완비성 공리로부터 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 상한 supremum을 갖는다.  $u = sup \mathbb{N}$ 라 하자. 

 

 

 

 

상한 supremum의 정의로부터 $u-1$은 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 상계 upper bound가 아니다. 그 말은 자연수 집합에서 $m$이라는 다음을 만족하는 원소가 존재한다는 뜻이다. 

 

$u-1 < m \le u$ 

 

위 식으로부터 $u < m+1$이 되고 $m+1 \in \mathbb{N}$이므로 $u$는 상한 supremum이 될 수 없다. 이는 $u$가 상한 supremum이라는 것에 모순이고 이 모순은 처음에 결론을 부정한 가정으로부터 왔다. 

 

따라서 위 정리는 참이다. 

 

 

따름 정리 Corollary

 

아르키메데스 성질의 변형 버전인데 오히려 이 정리의 쓰임을 생각보다 많이 보는 것 같다.

 

 증명은 간단히 아르키메데스의 성질로부터 모든 $\frac{1}{x}$보다 큰 $n$이 존재한다는 사실에서 해당 식을 정리하면 유도된다. 간단하니 더 자세한 설명은 생략하겠다. 

 
 
 

마무리 

아르키메데스 성질을 다뤘고 실수의 완비성 공리가 해석학에서 얼마나 유용하게 쓰이는 지를 확인할 수 있었다. 이 성질은 해석학 뿐 아니라 대수 분야에서도 기본적으로 쓰이므로 잘 알아둘 필요가 있다.