수학의 토대 : 공리,공준, 정의, 정리 에 대해 알아보자

수학은 명제들을 다루는 학문이다. 이 때 논리를 사용하여 명제들을 증명하는데 사용되는 논리는 크게 연역적 방법과 귀납적 방법이 있다. (단 귀납적 방법은 셀 수 있는 경우에만 적용된다. 이는 추후에 다루도록 하겠다.)

 

수학에서 명제들은 그 특성에 따라 다르게 불리게 되는데 일단 명제란 무엇인지부터 다루고 넘어갈 필요가 있다. 

 

명제란? 

명제 statement 란 참 또는 거짓을 구분할 수 있는 문장이다. 즉 참인지 거짓인지를 명확히 구분할 수 없는 문장들은 전부 명제가 아니다. 

 

명제의 예

• 크리스마스는 12월 25일 이다.
• 한국의 수도는 서울이다. 
• 36은 3의 배수이다. 

명제가 아닌 예

• 사과는 맛있다. 
• 그녀는 아름답다. 

 

 

그리고 이 명제들은 그 종류에 따라 다르게 불리게 된다.  수학에서 특별한 명제들은 공리, 공준, 정의, 정리 등이 있다. 

 

 

그러면 이들을 살펴보자. 

 

 

공리

공리 Axiom 란 가장 기초가 되는 근본적인 명제이다. 따라서 따로 증명 없이 자명한 사실로 받아들이고 이 공리들을 전제로 하여 다른 명제들을 증명하게 된다. 건축물의 가장 밑바닥 토대가 되는 부분이라 생각하면 된다. 

 

공리 외에 공준 postulate 이라는 용어도 사용되는데 '공리'가 여러 학문적 영역에서 공통으로 적용될 수 있는 자명한 가정을 가리킨다면, '공준'은 각 영역별로 자명하게 받아들이는 가정을 말한다. 다만 현대에는 이 두 단어를 같은 의미로 쓰는 게 일반적이다. 

 

 

공리의 예 

• 어떤 것 둘(A와 B) 이 어떤 것(C)과 서로 같다면(A=C 이고 B=C), 그 둘도 서로 같다.( A=B)
• 서로 같은 것들에 (A=B) 같은 것을 (C) 를 서로 더하면, 그 결과도 서로 같다. ( A+C = B+C)
• 서로 같은 것들은 서로 같다. 
• 임의의 서로 다른 두 점을 잇는 선분을 유일하게 그을 수 있다. 

 

 

 

정의 

수학에서 정의 Definition 란 수학에서 사용하는 기호나 용어의 의미를 명확하게 규정한 문장 혹은 식을 가리킨다. 수학을 공부하는 사람들끼리 일종의 약속이므로 증명이 필요하지 않다. 그냥 받아들이면 되는 것이다. 

 

 

정의의 예

• 직사각형의 넓이는 직각을 끼고 있는 두 변의 길이의 곱이다. 
• 비율이란 같은 종류의 크기 사이의 크기 관계이다. 

 

 

 

정리 

정리 Theorem 이란 공리나 정의로부터 논리적인 증명을 거쳐서 참(진리)으로 판명된 명제를 말한다. 이 때 그 정리로부터 도출되는 자명한 또 다른 정리를 따름 정리 Corollary 라고 한다. 그리고 어떤 정리를 증명할 때 보조적으로 사용하는 정리를 보조정리 Lemma 라고 한다. 

 

 

 

정리의 예

• 피타고라스 정리 
• 이항정리 

 

 

 

 

마무리

결국 수학은 가장 밑바닥의 뿌리인 공리 라는 명제를 기반으로 수많은 명제들의 진위를 판별해나가는 학문인 것이다. 

 

그 과정에서 수학자들이 따로 정의라는 약속을 하고 증명이 된 명제는 정리라는 이름으로 사용되게 된다.