[해석학] 완비성 공리 The completeness Axiom of Real Numbers

실수 $R$는 크게 3가지의 공리를 만족하는 수의 집합이라고 할 수 있다. 첫번 째는 체의 공리로 덧셈,곱셈에 대해 교환법칙,결합법칙이 성립하고 각각 항등원과 역원을 가지며 두 연산 사이에 분배법칙이 성립한다는 내용이다. 체의 공리에 대한 더 자세한 내용은 아래의 글을 참고하면 될 것 같다. 

 

https://jintionary.tistory.com/23

실수 $R$의 성질과 그에 따른 정리들

 

두 번째로는 순서 공리로 대소 관계에 대한 내용을 다룬다. (기회가 되면 이 내용 관련해서도 포스팅 할 예정)  그리고 마지막으로 세 번째는 이 글에서 다룰 완비성 공리 이다. 

 

사실 앞의 두 개의 공리는 유리수 집합도 갖고 있는 성질이다. 하지만 완비성 공리의 이 "완비성"은 실수와 유리수를 구분짓게 해준다. 

 

 

완비성 공리 Completeness Axiom of Real Numbers

실수 집합 $R$의 공집합이 아닌 부분 집합 $S$가 위로 유계이면 상한 $sup \; S$가 실수 집합에 존재한다. 

 

완비성 공리 영문버전.. 2가지 맛으로 즐길 수 있다

 

 

유리수 집합은 위와 같은 성질을 가지지 않는다. 가령 어떤 유리수의 부분집합 $T = \{x \in Q | x^2 =2\}$ 라고 하면 유리수 내에서는 집합 $T$의 상계 값들의 최솟값(상한)을 정할 수 없다. ($\sqrt 2$는 유리수 내에 존재하지 않으므로)

 

 

 

완비성 공리에서는 위로 유계일 때만 다루는데 아래로 유계일 때도 적용되지 않을까 하는 생각이 들 수 있다. 실제로 관련 정리가 존재하며 증명이 가능하다. 

 

 

Theorem.  실수 집합 $R$의 공집합이 아닌 부분 집합 $S$가 아래로 유계이면 하한 $inf \; S$가 실수 집합에 존재한다. 

위 정리를 영어로 옮겼다. 2가지 형태로 작성

 

해당 정리의 증명은 아이패드로 작성한 내용을 바탕으로 큰 흐름마다 끊어서 정리해보겠다. 아직 영어로 증명하는 게 서툰 부분이 있어서 참고바란다..(부족한 부분은 피드백과 조언 주시면 감사하겠습니다) 

 

$T$가 아래로 유계이기에 하계 $lower \; bound$   $l$이 실수 범위에 존재한다.  즉  $ l \le t  \;\; \forall t \in T$이다. 이는 또한 $ -t \le -l \;\; \forall t \in T$를 의미한다. 

 

그러면 집합 $S$를 $S = \{ -t : t \in T\}$ 로 정의할 때, $-l$은 집합 $S$의 상계 $upper \; bound$이다. 

 

 

주어진 조건에서 집합 $T$가 공집합이 아니라고 했으므로 집합 $T$에서 유도된 $S$ 역시 공집합이 아니다. 또한 집합 $S$는 위에서 확인했듯이 위로 유계이다. 

 

따라서 집합 $S$는 완비성 공리로부터 상한 $sup \; S$를 실수범위 안에서 가지며 이 값을 $u$라고 하겠다. 

 

 

마지막으로 $-u$ 값이 집합 $T$의 하한 $infimum$임을 보이겠다. 

 

우선 $s = -t \le u \;\; \forall s \in S$ 이므로 $-s=t \ge -u \;\; \forall t \in T$이다. 따라서 $-u$는 집합 $T$의 하계 $lower \; bound$이다. => (1) 

 

또한 $ \forall \epsilon > 0, \exists s \in S \;\; s.t. \; u- \epsilon < s \le u (\because u = sup \; S)$ 이므로 $\forall \epsilon > 0,$ $\exists -s=t \in T$   $ s.t. \;$  $ -u+ \epsilon > -s=t  \ge -u $ 이다. => (2) 

 

(1)과 (2) 로부터 $ -u$는 집합 $T$의 하한 $infimum$이다.

 

 

 

 

마무리 

실수의 핵심적인 공리인 완비성 공리를 다뤘다. 앞으로 마주칠 많은 정리들은 완비성 공리를 통해 증명되는 경우가 많기 때문에 잘 알아 둘 필요가 있다.  끝!

 

 

 

 

 

 

References

 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8B%A4%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%99%84%EB%B9%84%EC%84%B1

실수의 완비성 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

 

https://pkjung.tistory.com/141

완비성 공리와 그 응용

 

 

 

http://mathonline.wikidot.com/the-completeness-property-of-the-real-numbers

The Completeness Property of The Real Numbers - Mathonline